Kalkulator wektora przemieszczenia

Kalkulator wektora przemieszczenia – Oblicz odległość i kierunek

📐 Oblicz wektor przemieszczenia, moduł, kąt kierunku i składowe. Wizualizuj ruch w przestrzeni 2D i 3D z objaśnieniami krok po kroku.

Czym jest przemieszczenie?

Przemieszczenie to wielkość wektorowa opisująca zmianę położenia obiektu. Jest to odległość w linii prostej od pozycji początkowej do końcowej, niezależnie od faktycznie przebytej drogi.

Wzór na przemieszczenie

Przemieszczenie 2D:

Δr = ⟨Δx, Δy⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀⟩

Przemieszczenie 3D:

Δr = ⟨Δx, Δy, Δz⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀⟩

Moduł (odległość)

2D:

|Δr| = √(Δx² + Δy²)

3D:

|Δr| = √(Δx² + Δy² + Δz²)

Kąt kierunku

Kąt 2D względem osi X:

θ = arctan(Δy/Δx)

• Mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi X
• Zakres: -180° do +180° (lub 0° do 360°)
• Użyj atan2(Δy, Δx), aby uwzględnić poprawny ćwiartkę

Wektor jednostkowy

Wektor jednostkowy ma długość 1 i wskazuje kierunek przemieszczenia:

û = Δr / |Δr|

Przykłady obliczeń

Przykład 1: Ruch poziomy

• Początek: (0, 0), Koniec: (10, 0)
• Przemieszczenie: ⟨10, 0⟩ m
• Moduł: 10 m
• Kierunek: 0° (Wschód)

Przykład 2: Ruch po przekątnej

• Początek: (2, 1), Koniec: (7, 5)
• Przemieszczenie: ⟨5, 4⟩ m
• Moduł: √(5² + 4²) = 6.40 m
• Kierunek: arctan(4/5) = 38.66°

Przykład 3: Ruch 3D

• Początek: (1, 2, 3), Koniec: (4, 6, 8)
• Przemieszczenie: ⟨3, 4, 5⟩ m
• Moduł: √(3² + 4² + 5²) = 7.07 m

Przemieszczenie a droga

Kluczowe różnice:

• Przemieszczenie: wektor (moduł + kierunek), linia prosta, może być 0
• Droga: skalar (tylko wartość), suma trasy, zawsze dodatnia

Przykład: Jeśli przejdziesz 5 m na wschód, a potem 5 m na zachód:

• Droga: 10 m
• Przemieszczenie: 0 m (z powrotem na starcie)

Zastosowania w praktyce

• Nawigacja: GPS oblicza przemieszczenie do celu
• Fizyka: Prędkość = przemieszczenie / czas
• Inżynieria: Analiza odkształceń konstrukcji
• Robotyka: Planowanie trasy i śledzenie pozycji
• Sport: Analiza ruchu zawodników
• Lotnictwo: Trasy lotów i nawigacja

Kierunki kompasu

• N (Północ): 90° (dodatnia oś Y)
• E (Wschód): 0° (dodatnia oś X)
• S (Południe): -90° lub 270° (ujemna oś Y)
• W (Zachód): ±180° (ujemna oś X)
• NE: 45°, SE: -45°, SW: -135°, NW: 135°

Dodawanie wektorów

Wiele przemieszczeń można sumować:

Δr_total = Δr₁ + Δr₂ + Δr₃ + ...

Przykład: 3 m na wschód, potem 4 m na północ

• Δr₁ = ⟨3, 0⟩, Δr₂ = ⟨0, 4⟩
• Razem: ⟨3, 4⟩, Moduł: 5 m, Kierunek: 53.13° (NE)

Ważne właściwości

• Moduł przemieszczenia ≤ droga (równość tylko dla ruchu po prostej)
• Przemieszczenie może być ujemne (składowe mogą być ujemne)
• Zero przemieszczenia ≠ brak ruchu (możesz wrócić na start)
• Przemieszczenie nie zależy od trasy (liczą się tylko start i koniec)

Typowe błędy

• Mylenie przemieszczenia z drogą — to nie to samo!
• Zła ćwiartka kąta — użyj atan2, aby uzyskać poprawny kąt
• Pomijanie kierunku — przemieszczenie to wektor, musi mieć kierunek
• Dodawanie skalarów do wektorów — nie da się dodać drogi do przemieszczenia

💡 Wskazówka: Rozwiązując zadania z fizyki, zawsze rysuj schemat z pozycją początkową i końcową. W 3D użyj reguły prawej dłoni: kciuk (X), palec wskazujący (Y), środkowy (Z). Pamiętaj, że przemieszczenie zależy wyłącznie od punktu startu i końca, nie od przebytej trasy — dlatego osoba idąca po okręgu ma przemieszczenie równe 0, mimo że pokonuje dużą drogę!